+ Le chant du vario +

Bonsoir,

Voici comme convenu l'article et ses annexes.

L'article cherche à répondre aux 2 questions suivantes :

- 1/ Si je choisis 2 balises A et B, quelles sont les zones où l'on peut placer une 3° balise C de façon à ce que le triangle ABC soit de type FAI (règle liée au facteur k = 28%; cf.l'article) ?
- 2/ Comment se déforment ces zones si on fait varier le coefficient k ?

Vous trouverez ci-joint 5 fichiers téléchargeables :

- Triangle_FAI.pdf : il s'agit du texte de l'article.
- Triangle_FAI.fig2.pdf, Triangle_FAI.fig3.pdf, Triangle_FAI.fig4.pdf : il s'agit des figures 2, 3 et 4 citées dans l'article.
- Triangle_FAI.annexe.pdf : il s'agit d'un tableau de formules et des valeurs correspondantes pour k = 28 %

Remarques :

- comme on ne peut mettre que 4 fichiers joints par message, je vais envoyer l'annexe dans un prochain message ;
- la démonstration des formules ne figure pas dans l'article (ce serait quand même laborieux et ingrat) ;
- vous pouvez faire l'usage que vous voulez de ces fichiers (en rappelant simplement que j'en suis l'auteur).

Si vous avez des remarques à me faire remonter, n'hésitez surtout pas !

Amicalement.

Marc Lassalle

Le texte de l'article n'est pas passé !

Je le remets avec l'annexe.

Marc

Merci mille fois !  :trinq:

et vivent les forums !!!

Si cela vous intéresse, pensez bien à télécharger les 5 fichiers (envoyés en 3 + 2 dans mes messages) car ils se complètent.

Marc

Super, Merci Marc.

Et pour répondre à ça:

J'utilise l'excellent outil de Tom Payne: XCplanner (http://http://xcplanner.appspot.com/)
Dans préférences, choisir "France" et pas de prise de tête pour tracer un FAI.

C'est très intéressant, on comprend bien qu'on ne peut guère descendre en dessous d'une valeur de k à 27,5 pour avoir un triangle qui ressemble à quelque chose.

Existe il un programme qui tracerait la zone du troisième point en fonction de deux points choisis.

Je comprend aussi que ce genre d'article ne soit pas publié dans un magazine grand public.

Merci Marc, très intéressant cet article en effet.
Pareil que Suspente, j'utilise XC Planner, une mine d'or pour planifier des vols (pas seulement des FAI d'ailleurs) en couplant avec la fonction "thermals" on a une idée de la vitesse de vol à choisir en fonction de son objectif, de son temps de vol potentiel...etc...

;)

Merci, Marc Lassalle, pour le partage. karma+

Du coup, je pense avoir mieux compris comment jouer/imaginer/rêver avec XCplanner. :rando:

Pour ce qui est pourquoi 28 % et non pas 33 ou moins de 28, cela me parait clair qu'il fallait une marge pour rendre l'exercice réalisable, mais pas une marge trop grande qui enlèverait tout l’esthétique, tout le coté artistique à l'exercice et ma foi tu démontre bien que 5 % de marge répondent bien à cette double exigence.

Ça me rappelle le souhait exprimé par l'un ou l'autre crosseur du forum que la marge des 3 Km entre BD et BA d'un parcours bouclé pourrait être augmenté. En appliquant l'idée de fond de ton article  ; "Comprendre le pourquoi du comment du choix de telle ou telle régle dans un règlement sportif" (euh ... enfin c'est comme ça que j'ai compris le sens et l’intérêt de ton écrit, rectifie-moi si je me suis égaré) On comprend bien que mettre une marge est une bonne chose pour permettre de réussir l'exercice (boucler) en sécurité. Mais que la marge ne doit pas enlever toute réalité, toute valeur à la notion de réussir (boucler).

Cette année, j'ai réussi mes premiers triangle FAI et ton article me donne plus envie encore de bien réfléchir durant l'hiver sur la topographie de mes terrains de jeu favori pour imaginer quelles sont les stratégies envisageables pour viser le FAI ... quitte à finir en DL2.  :banane:

Bonne soirée, :forum: 
   

Enfin 3 km pour un vol de 50 ou 60 km comme ça été prévu tout va bien mais sur 250 ou 300 km ça fait juste un peu étriqué ... voir rabougri ... voir pire !!!!

de la même façon que la limitation de la vitesse à 130 sur autoroute a un sens quand on roule en R5 mais ça n'en a pas ni quand on roule en deuche ni en ferrari...

après faut bien une limite facile à calculer ... et si on mettait x% ça commence à devenir compliqué à calculer en l'air ... surtout que le x ne devrait pas être le même sur un Aller/Retour (2 branches) ou sur un triangle (3 branches, donc 1,5 fois moins de  longueur par branche)

Amha
au delà de l'esthétisme de la chose, la marge ne doit pas être trop grande. Ces règles visent à souligner la performance. Il est plus dur de boucler un triangle qui plus est FAI que de le faire grosso mer..o.

15 km sur 300, ce n'est pas rien, c'est quand même la valeur d'un mini cross (1ere valeur déclarable à la CFD). Et l'on sait tous que les derniers km sont les plus difficiles puisque c'est généralement là qu'on pose  ;)

Meme pas je reponds  :mrgreen:  :canape:
 :trinq:

Avec des outils comme va ce sera moins difficile http://www.postfrontal.com/forum/topic.asp?TOPIC_ID=6649 (http://www.postfrontal.com/forum/topic.asp?TOPIC_ID=6649)

Idem avec XCsoar:
(http://www.xcsoar.org/discover/screenshots/analysis_olc.png) (http://www.xcsoar.org/discover/screenshots/)

Bonjour,

Pas à ma connaissance.

Ce n'est pas si simple car il n'y a pas d'expression directe du type y = f(x) (pour la quadrique en particulier) permettant de calculer facilement l'ordonnée d'un point d'abscisse "x" appartenant à la frontière du triangle curviligne..
L'ordonnée "y" s'obtient par itérations successives à partir d'une valeur de départ.
On peut bien sûr programmer tout cela.
Ce serait possible dans un logiciel de cartographie, mais je ne pense pas que cela existe.

Marc Lassalle

 :dodo:  ;)

Pour info, XC planner permet de faire ça depuis au moins deux ans sur on ordi à la maison,
et comme l'ont indiqué Masterpitrou et Suspente, c'est maintenant possible en vol sur son PDA avec LK8000 ou smartphone avec XCSoar...

Oups, j'avais raté ta réponse à la question !!

Je ne connais pas XCplanner, mais peut-il vraiment dessiner automatiquement l'enveloppe (les 4 triangles curvilignes de mes schémas) de tous les points C possibles à partir de 2 points A et B ?

C'était cela la question de Patrick.

A+ Marc

oui oui oui!

sur xcplanner.appspot.com  (pas de http), tu trace un triangle avec 4 points (départ, 1er virage, 2e virage, Arrivée) et tu vois la zone ou, pour chaque couple de point, doit se trouver le 3eme point pour avoir un FAI!

Ca donne ça sur xcplanner : http://xcplanner.appspot.com/ (http://xcplanner.appspot.com/)

(http://nsa31.casimages.com/img/2012/11/24/121124122236291654.png) (http://www.casimages.com/img.php?i=121124122236291654.png)

Etrange, sur Mac XcPlanner marche avec Safari mais pas avec Firefox.  :grat:

Le programme fait exactement ce que je demandais, en temps réel et par simple déplacement des balises. C'est parfait !

Il donne aussi le rayon de 3 kilomètres pour boucler le parcours. Si je l'avais utilisé le printemps dernier, j'aurais vu que l'atterrissage de Samoëns est à 3,2 km du décollage et avec les 1000 mètres de rab au dessus de l'attéro j'aurais bouclé un triangle FAI dans les règles de l'art au lieu de faire une "pauvre" distance libre avec deux points.  :P


(http://nsa31.casimages.com/img/2012/11/24/121124124825490389.jpg) (http://www.casimages.com/img.php?i=121124124825490389.jpg)

Salut Marc, karma+ à toi pour le travail fourni et partagé !

Je me suis fait des versions papier de tes fichiers, le support papier m'est plus profitable d'un point de vue compréhension. :grat:

J'ai bien compris que ta démarche se voulait plus intellectuelle que pratique même sans savoir que tu n'étais pas spécialement attiré par le cross. Tu as d'autant plus de mérite d'avoir su t'intéresser à un tel thème sans en avoir vraiment l'usage. :pouce:

Comme le disent certains sur le fil "triangle FAI" Xcplanner (que je connais) et sans doute les Xc-soar et autre LK8000 (que je connais moins ou pas du tout) permettent en quelques clics de déterminer les zones ou devrait s'achever au minimum un vol en triangle pour en faire un FAI. Maintenant ta démonstration permets de comprendre ce que l'on initie avec ces quelques clics, du moins me l'a permis à moi.

Que veux-tu nous vivons dans un monde ou d'aucuns pensent savoir piloter (qu'importe l'engin) parc-qu’ils sont champions de la discipline sur Game-boy ou Nintendo. Nous, la génération certificat-d'étude, avons pour la plupart encore l'envie, non pas seulement de connaitre le résultat d'une extraction de racine carrée (par exemple) donné par une Texas-Instrument, mais aussi de comprendre comment on arrive "intellectuellement" au dit-résultat. biroute
Ho-là ! Il n'y a ici aucune attaque, critique, taquinerie envers celles et ceux qui connaissent et exploitent Xc-planner et consort. Je ne fais qu'exprimer ce qui me semble être un état de fait.

Alors merci pour tes interventions intéressantes, de bon-sens et toujours présentés avec un vrai respect pour tous les lecteurs du forum.

Bonne journée,

Merci pour le message sympa !

Et l'outil XcPlanner (que je ne connaissais pas) est vraiment remarquable !

Je suis quand même content de voir que les triangles curvilignes dessinés par ce logiciel sont bien les mêmes que ceux que j'avais calculés.
Je ne me suis donc pas trompé dans le calcul de mes formules  :vol:

Marc

L'intérêt de XCsoar, LK8000 et autres c'est de le faire in situ pour ne pas être déçu à l'atterro d'avoir manqué le FAI pour quelques centaines de mètres.

(@) Suspente,

Effectivement cela semble très intéressant sous cet angle, En début d'année je me suis offert un samsung nexus avec un forfait free et ma foi j'ai installé les differentes applis qui concernent le parapente, entre autre Xc-soar.

Alors Xc-soar, pour le moment je n'ai pas encore trop compris comment l'utiliser, faute de l'utiliser assez. Je pense, même si je l'avais envisagé au moment de l'achat (c'est pourquoi le Nexus plutôt qu'un Galaxy, question de taille d'écran), que l'utilisation d'un smartphone en vol c'est pas trop top au vu de la mauvaise lisibilité de l'écran au soleil, l'utilisation moyenne de l'écran tactile avec des gants, la faible autonomie, la fragilité globale, ... Après je suis peut-être juste trop dépassé et pas assez geek pour m'y faire ? :tomate:

LK8000 sur un GPS voiture, ouais pourquoi pas ... si seulement j'étais un peu plus geek. Ça me semble tout de même assez compliqué au vu de tous ceux que j'ai à propos. Un jour ... peut-être, je saurais. :tomate:  :tomate:

C'est sûr, c'est intéressant car tout aussi sûr, c'est rageant de se voir créditer d'un triangle plat alors que cela s'est joué à quelques hectomètres pour ce soit un FAI. Ça m'est arrivé sur mes deux premières tentatives ciblées de ((tout) petit) FAI. Après cela motive (pas forcement intelligemment) de pousser les branches un peu plus loin (ce qui en fait et évidemment ne règle pas nécessairement le problème) mais (c'est là ou je voulais en venir) cela motive à voler plus et mieux tout en réfléchissant. :grat:

Tenez, c'est éventuellement une évolution intéressante pour le C-pilot d’intégrer cartographie (au 25/1000) et Xc-planner ou autres pour optimiser les vols en vue de déclaration CFD ou autres. Bon, il faut que cela soit un outil simple ou l'on n’aurait pas besoin d'un diplôme d'ingénieur informatique pour le faire fonctionner et utiliser. Un truc que même, une brêle dans le domaine, comme moi serait capable d'utiliser sans migraines assurées. Je casserais peut-être ma tirelire ou priverais mes enfants (adultes) de cadeaux de Noël ... :oops:

En attendant, je continuerais avec des supports papier à essayer de préparer et gérer mes tentatives d'apprenti-crosseur. Ce n'est pas toujours pratique ni même facile à consulter en vol, m'enfin cela ne coute pas cher et fait aussi déjà rêver au moment de la préparation et réfléchir une fois le vol terminé. :rando:

Bonne soirée à tous,

(@) wowo

En préparant sur carte et/ou xcplanner, juste un GPS qui gère les balises et c'est parti. 3 balises à atteindre + retour à la distance requise du premier point de passage et pas de surprise à l'arrivée. Pas besoin d'une usine à gaz mais une fois commencé, il n'y a plus de place pour d'autres options (enfin si mais FAI ce sera dûr !: dl, triangle plat...)
Alors qu'avec les outils qui traitent le problème in situ, il y a moyen d'allonger ou raccourcir les branches en fonction des conditions tout en restant dans du FAI sans faire de l' "à peu près".

Pour les problèmes techniques du hardware c'est déjà vu dans d'autres posts:
- autonomie: batterie auxiliaire ~40€
- lisibilité: certains sont connus pour être lisibles en pleines luminosité (Streak5, S3, Verticasport, Holux...) ou cache à bricoler. Les GPS de voiture ne sont pas bons (voire même mauvais) pour la lisibilité
- utilisation avec des gants: utilisation d'un stylet compatible avec les écrans capacitifs, ou couture avec un fil conducteur sur l'index.

(@) Suspente, peux-tu me préciser de quoi comme marque(s) et/ou modèle(s) il s'agit ci-dessous, histoire que je me renseigne un peu plus avant sur Xc-soar et/ou LK8000. L'hiver a aussi du bon en nous laissant du temps pour cela.


Après ce qui me pose aussi problème dans la compréhension des mode d'emploi de Xc-soar et autre LK8000 c'est de ne pas trouver des versions en français ou éventuellement en allemand ... :oops:

Il y en auras des choses à relire d'ici les prochains vols ...

Bonne soirée à tous,

 :trinq:

Bon en fouillant un peu sur le net j'ai déjà trouvé un tuto pour LK8000 en allemand et quelques renseignements sur Xc-soar ... l'hiver va être sympa ! :pouce:

(@) Suspente, au cas ou tu utilise toi même l'un ou l'autre de ces deux systèmes, mieux encore si tu connais bien les deux système, lequel trouve tu le plus facilement accessible autant d'un point de vue soft que hardware pour, je te le rappelle, une vraie brêle technologique. Bon je sais à peu près me servir de mon B1 et de mon Csx60 mais le smartphone me complique déjà la vie ... :oops:

Bonne nuit à tous,

Belle distance Patrick
Tu pourrais mettre ta trace au format kmz en PJ si tu l'as gardée? merci :)

Pour lk8000 ca marche très bien sur un GPS auto il suffit d'acheter une batterie supplémentaire ( 20 € ) pour avoir environ 20 H d'autonomie et un film anti reflet

Il existe plein de tuto .... et des configs pour para ....

C'est top 

Bonjour.

J'ai essayé de retrouver les équations des courbes des côtés des triangles  FAI  et surtout leur démonstration  ( qui sont un peu différentes de celles du document mis en ligne par  Marc Lassalle  et doivent permettre de calculer tous les points d'une courbe, si je ne me suis pas trop trompé ).
L'essentiel des méthodes de calcul est dans un document texte plus long et devant être bien vérifié pour être communiqué.
J'essaie toutefois de mettre en ligne le tableur utilisé pour effectuer les calculs en espérant que les formules de  Math  de  Libre office  puissent passer.
Vos remarques et corrections, en message privé, me seraient utiles, si elles ne concernent que ces calculs, et non l'intérêt de l'utilisation d'un GPS, d'une application de navigation, d'un simulateur de vol ... Je me permets de souligner aux intervenants parfois trop spontanés que ce qui m'intéressait ici c'était de trouver une explication claire permettant à un pilote ayant en mathématique un niveau correspondant à celui du  BEPC  de comprendre les formules de calcul et de dessiner ces courbes.
Je peux communiquer par message privé certaines parties du topo rédigé en traitement de texte si certaines démonstrations vous paraissaient nécessaires.
Christian  Puissant

Comme je l'ai expliqué dans les pièces jointes envoyées avec les deux premiers messages envoyés sur ce fil, l'enveloppe des points C permettant à un triangle ABC d'être "FAI" est constitué par un triangle curviligne dont les "limites" sont des arcs d'ellipse et de quadrique (cf. les documents que j'ai envoyés).
Voici les liens vers mes deux messages avec les pièces jointes :
http://www.parapentiste.info/forum/competition/triangles-fai-t27200.0.html;msg353584#msg353584
http://www.parapentiste.info/forum/competition/triangles-fai-t27200.0.html;msg353585#msg353585

J'ai donné les équations de ces deux courbes et il est bien sûr possible de calculer avec Excel (avec une petite moulinette d'itérations successives) les coordonnées x et y de l'ensemble des contours constituant ce triangle curviligne.
C'est d'ailleurs ainsi que j'ai pu dessiner les triangles curvilignes correspondants.

Tes équations sont certainement les mêmes que les miennes.
Il est vrai que je n'ai pas donné sur le forum la démonstration de ces équations, ce qui serait un peu ingrat (et sans doute inutile) à lire.

Tu peux m'envoyer un message privé (mais je serai absent toute cette après-midi et toute la journée de demain) si tu veux échanger à ce sujet.

Je rappelle ceci (voir mes fichiers).
Si les coordonnées respectives des deux points A et B sont (-1 ; 0) et (+1 ; 0) et si on appelle d1 = BC et d2 = AC, les contours de l'enveloppe des triangles FAI (pour k = 28%) constitués par les points ABC sont :
- un arc d'ellipse d'équation : d1 + d2 = 5,143 (les foyer de l'ellipse sont les points A et B) ;
- un arc de quadrique d'équation : 18 x d1 - 7 x d2 = 14.

 :trinq:

Marc

Bonjour  Marc et bonjour à tous les autres.

Le réseau internet local, ne permet pas de me connecter, trop souvent, à Gaillon. Je n'ai ainsi pas pu t'adresser un message privé ce matin.
D'abord, merci pour ta compréhension.
Pour simplifier, j'envoie directement mon topo sur  parapentiste.info, enfin j'essaie.
Je l'enverrai en trois morceaux en raison de la limite de volume des documents joints.
Pour rassurer les personnes éventuellement intéressées, je précise que les trois quarts du document sont constitués de rappels de cours de mathématiques  ( indispensables pour résoudre les problèmes posés )  empruntés à de bons pédagogues.
Je souhaite que ces notes puissent être vérifiées, corrigées ou définitivement censurées, de manière bienveillante et conviviale.
Faites en ce que vous voudrez. Je n'interviendrai plus sur ce sujet.

Autre raison de ce retrait :  j'ai passé un mois sur ces calculs et mon amie me rappelle de plus en plus souvent l'intérêt de travaux plus urgents, selon elle.

Meilleurs sentiments. Christian  Puissant

Deuxième morceau du topo sur les triangles  FAI.

Troisième partie du topo sur les triangles  FAI.
Il s'agit ici uniquement de la démonstration de l'équation de l'ellipse empruntée à  Pascal  Bourdeau  que j'ai trouvé passionnant.

Tu t'es trompé de pièce jointe.  :lol:
Au lieu de la démonstration de l'ellipse (qui est en fait vraiment très simple), tu as mis un de mes schémas !  :grat:

Marc

Bonsoir  Marc  et à tous les autres.

Je ne discuterai pas l'intérêt de donner trop d'explications, j'ai simplement pensé préférable de donner toutes les justifications  [ dont la simple démonstration de la règle de l'ellipse : [  x^2 / a^2  +  y^2 / b^2  =  1 , à partir de la relation de  Pythagore ]  nécessaires à l'explication d'une équation.
Démonstration empruntée à  Pascal  Bourdeau  qui ne me semble d'ailleurs pas si simple.
Quoiqu'il en soit, je dois réparer l'erreur commise dans l'envoi des pièces jointes et j'essaie de transmettre en pièce jointe la troisième partie de mes modestes notes concernant cette règle de l'ellipse.

J'ai enfin également pu tracer, manuellement en raison de mes compétences en graphique de tableur  Libre Office, les trois courbes évoquées sur une figure à l'échelle  10  à partir de huit points d'abscisse  0 ; 3 ; 6  ...  21.
La manière dont j'ai déterminé l'équation de la courbe conique ( ou quadrique ), passant malheureusement  21 mm au-dessus de l'intersection des deux autres courbes, comporte manifestement une erreur peut-être ponctuelle mais que je devrai essayer de corriger dès que j'aurai un peu plus de temps.

Mais d'autres peuvent aussi donner la solution.

Meilleurs sentiments.

Salut,  :coucou:

Je ne suis pas certain que ces histoires de construction géométrique des triangles FAI intéressent grand monde !
Je trouve ton approche beaucoup trop compliquée.
Il est en effet facile de trouver les équations de l'ellipse et de la quadrique en utilisant uniquement les distances d1=BC et d2=AC de mon graphique n°2 sans chercher à trouver des relations algébriques entre les cordonnées x et y.

Exemple pour l'ellipse.
Elle correspond au cas où c'est le segment AB (et AB=2 dans mon schéma) qui est le plus petit des trois côtés du triangle ABC.
Ceci est le cas où l'abscisse de C est inférieure ou égale à l'abscisse de D, soit 1,469 (facile à trouver).
Le périmètre du triangle est donc : P = 2+d1+d2.
La règle FAI est alors la suivante : 2 = 0,28.(2+D1+D2).
ou : d1 + d2 = 2.(1-0,28)/0,28 = 5,143.
Pour trouver les ordonnées y du point C (le long de l'arc de l'ellipse) pour différentes valeurs de x, il suffit de faire un petit tableau Excel avec les cellules suivantes :
. x
. y
. calcul de d1 (formule simple avec Pythagore)
. calcul de d2 (formule simple avec Pythagore)
. calcul de d1+d2-5,143
Et ceci suffit pour tracer l'arc d'ellipse correspondant.
Si on met une valeur dans la cellule x, il suffit d'essayer successivement plusieurs valeurs de y pour voir quand la dernière cellule approche de 0.
Cela est très facile à faire et le résultat converge très vite ; on trouve après quelques essais rapides la bonne valeur de y.
On recommence pour d'autres valeurs de x.
Il faut aller pour x de 0 à 1,469.
Quelques points suffisent.
Je n'ai pas gardé mon tableau Excel, mais je pense que j'ai dû prendre les 4 valeurs de x suivantes : 0,3 0,6 0,9 1,2.
On a donc 6 points (avec les points E pour x=0 et D pour x=1,469).
On génère ensuite facilement avec la fonction graphique d'Excel la courbe correspondante.
Remarque : il y a dans la fonction graphique d'Excel une case à cocher "Lissage" qui fabrique automatiquement une courbe lissée passant entre les différents points.
C'est pour cela que sur mes différents schémas, les arcs d'ellipse et de quadrique sont bien réguliers alors que je n'avais pour chacun d'eux que quelques points.
Tout cela va très vite et prend peu de temps.
Avec cette fonction "Lissage", on peut par exemple dessiner automatiquement une courbe régulière bien lissée de la polaire d'une voile.

Même procédure pour l'arc de quadrique.
On trouve très vite l'équation de celui-ci : 18.d1-7.d2 = 14 (pour k=0,28).
On recommence avec une copie du tableau Excel précédent avec la formule un peu différente pour la dernière cellule et on refait des itérations successives sur la cellule y pour que la cellule contenant la formule de la quadrique arrive à zéro.
On fait cela pour 4 ou 5 points et on trace la courbe lissée correspondante, d'où mes différents schémas, y compris avec des valeurs de k différentes pour mon schéma n° 3 : comparaison des courbes obtenues avec les valeurs de k = 28% (valeur FAI), 27%, 26% et 25%.

A aucun moment je n'ai cherché à exprimer de façon algébrique y en fonction de x !
J'ai certainement passé moins d'une journée pour calculer les différentes formules, générer les schémas graphiques et rédiger la note d'accompagnement explicative que j'ai envoyée sur le forum avec le titre :
"L’angoisse du triangle : être ou ne pas être… F.A.I. ?".
J'ai juste fait cela pour m'amuser, sachant que les triangles FAI ne m'intéressent pas vraiment en vol puisque je ne fais pas de vols de distance !  :lol:

Si tu as des détails à me demander, envoie-moi un message en privé.
Il me semble inutile de discuter de tout cela sur le forum.

 :trinq:

Marc

Bonsoir.  Je sors d'une semaine très pénible avec la covid.
Je tenais à trouver des formules et des méthodes de calcul que je comprenne mieux et qui donnent les coordonnées cartésiennes de sept ou huit  ( ou vingt )  points de chacune des trois courbes des triangles  FAI. J'ai pu finir de corriger mes notes et mon tableau de calcul en m'aidant d'un schéma à l'échelle 5 utilisé pour vérifier chaque élément de calcul et détecter les incohérences. Elles sont ainsi plus claires et plus synthétiques. Ce travail m'a pris beaucoup de temps mais beaucoup plu.
Je n'ai plus que des erreurs minimes et la présentation à revoir.
Je comprends bien qu'on puisse trouver les calculs compliqués ( quoiqu'ils relèvent du programme de troisième des collèges ).
Il y a aussi d'autres moyens de déterminer les ordonnées correspondant aux différentes abscisses de points de ces courbes.
Je respecte également le souhait de  Marc Lassalle  de ne pas donner ces méthodes de calcul dans ce sujet de discussion.
Je pourrai  toutefois toujours les communiquer en MP si certains les voulaient.
Cordialement.
Christian  Puissant

Salut,

Désolé pour cette histoire de covid, surtout en cette période de fêtes.

Je vois que tu as passé vraiment beaucoup de temps pour essayer d'établir des fonctions y=f(x) donnant les ordonnées des points pour des abscisses données.
Mon travail n'était pas du tout celui-là.
J'ai simplement cherché à dessiner le lieu géométrique (le triangle curviligne) des points respectant la règle des triangles FAI (avec k=0,28).
Pour cela il était complètement inutile de chercher y=f(x) puisque les équations des arcs de l'ellipse et de la quadrique sont très simples à établir en fonction des distances d1=BC et d2=AC.

Par exemple pour l'ellipse on trouve très vite :
d1+d2 = 2(1-k)/k, soit  d1+d2 = 5,143 pour k=0,28.
d1+d2 = une constante est la caractéristique d'un arc d'ellipse (une ellipse correspond en effet à l'ensemble des points dont la somme des distances à deux points, appelés foyers, est fixe et constante).
C'est d'ailleurs le cas pour la trajectoire de la Terre qui décrit une ellipse dont le soleil est l'un des deux foyers !

Calcul analogue (et facile) pour l'arc de quadrique pour lequel on trouve très vite :
(1-k)d1-k.d2 = 2k, soit 18.d1-7.d2 = 14 pour k=0,28.

Avec un petit tableau Excel, il est alors très facile de trouver les ordonnées y de quelques valeurs x de 4 ou 5 points des arcs et avec la fonction "Graphique" d'Excel (en activant la fonction "Lissage") on obtient des schémas graphiques tout à fait précis et exacts des courbes recherchées (cf. mes différents graphiques envoyés sur le forum).
Tout ceci (calcul des équations des deux courbes et des ordonnées de quelques points, création des différents graphiques et rédaction du texte explicatif général) m'a pris moins d'une journée alors que j'ai l'impression que tu as passé des jours et des jours à rechercher à établir y=f(x), ce que je n'ai jamais cherché à faire.
Les fonctions y=f(x) pour des arcs d'ellipse ou de quadrique sont en effet complexes à obtenir et on n'en a absolument pas besoin pour dessiner avec précision les triangles curvilignes recherchés décrivant l'enveloppe des points respectant la règle des triangles de type FAI !  :lol:

Je ne suis pas sûr que ces réflexions mathématiques passionnent grand monde sur ce forum !  :lol:

 :trinq:

Marc